سنتناول في هذا المقال موضوع إثبات قانون المتسلسلة الحسابية، وسنستعرض معانيه وأهميته، معتمدين على مجموعة من الآراء والأفكار التي طرحها مختصون في مجال الرياضيات والحسابات. لذا، تابعونا لنستكشف تفاصيل هذا الدرس الذي غالبًا ما يسبب ارتباكًا لدى الطلاب والمعلمين الجدد على حد سواء.
محتويات
قوانين المتتاليات الحسابية والهندسية:
في علم الرياضيات، تشير المتتالية الهندسية إلى سلسلة من الأعداد يتم فيها ضرب كل حد من الحدود بعد الأول بعدد ثابت يعرف بالنسبة أو المقدار المشترك، والذي يُشار إليه أيضًا بالنسبة المحددة وفقًا للرياضيات. يعد هذا العدد غير معدوم ويشكل أساس تطور المتتالية.
بالمقارنة مع المتتالية الهندسية، تتميز المتتالية الحسابية بنمط آخر، حيث تحدد بزيادة مقدار ثابت على الحدود المتعاقبة. تبرز الفروق بينهما بوضوح، حيث تنمو المتتالية الهندسية بشكل أسي، بينما تنمو المتتالية الحسابية بشكل خطي واضح، مما يسهل التعرف بين النوعين.
أمثلة للمتتالية الهندسية:
لتوضيح مفهوم المتتالية الهندسية، يمكننا أخذ مثال على سلسلة الأعداد 3، 6، 12، 24… حيث تُعتبر هذه السلسلة متتالية هندسية، والحد الأول فيها هو a = 3، مع نسبة تكرار تساوي r = 2.
يظهر ذلك جليًا عند قسمة كل حد على الحد الذي قبله، فنجد مثلًا: عند قسمتنا الرقم 6 على 3، النتيجة هي 2، مما يتكرر لتصل النتيجة نفسها عند باقي الحدود. ولتحديد الحد الخامس، على سبيل المثال (n = 5)، يمكننا استخدام المعادلة لنجد أن الحد الخامس هو 48.
كيفية التعرف على المتتالية الحسابية:
يتساءل العديد من الأفراد عن كيفية التمييز بين المتتاليات الحسابية. ولتسهيل ذلك، إليكم ما يلي:
- حسب خبراء الرياضيات، يمكن تحديد ما إذا كانت المتتالية حسابية من خلال التركيز على عمليات الجمع والطرح فقط. على سبيل المثال، إذا أخذنا السلسلة (1، 3، 5، 7)، نجد أنها متتالية حسابية، وذلك لأن الفارق بين كل عددين متعاقبين ثابت، حيث يزيد كل عدد عن سابقه بمقدار 2، ويتم ترميز هذا الفارق بالرمز r، والذي يمثل الأساس الذي تقوم عليه المتتالية.
شرح إثبات قانون المتسلسلة الحسابية:
تتضمن قوانين المتتالية الحسابية قاعدة الحد العام، بالإضافة إلى القاعدة التي تُعرف أيضًا بالحد النوني.
لفهم قانون المتتالية، يمكننا النظر إلى المتتالية {3، 5، 7، 9، 11، 13، 15، 17، 19}، التي يُظهر بها الحد الأول = 3، والفارق بين الحدود هو 2، مع عدد حدود مساوي للتسعة.
يمكننا دراسة العلاقة التالية لفهم المتتاليات الحسابية بشكل أفضل:
الحد الثالث A3 = 7 = 3 + (2 × 2)، أي A1 + 2D.
أما بالنسبة للحد التاسع A9 = 19 = 3 + (8 × 2)، أي A1 + 8D.
[ أن = A1 + (ن – 1) D ]
من هنا، نلاحظ دور معامل “D” :
في الحد الثالث، A3 = 2 = 3 – 1.
وفي الحد التاسع، A9 = 8 = 9 – 1.
يمكن تطبيق هذه المعايير على باقي حدود المعادلة لفهم قوانين المتتالية الحسابية التي شرحناها لكم سابقًا.